水面から1尺出ている葦を引いたところ、先端がちょうど水際に触れた場合、池の深さはどれくらいでしょうか？
『九章算術』のこの問題を解く鍵が勾股弦（こうこげん）の定理です。
ピタゴラスの定理と同じ $a^2+b^2=c^2$ ですが、異なるのはその証明方法でした。
勾股弦の定理は『九章算術』における「問題の解き方」だった
勾股弦の定理が体系的に初めて姿を現したのは、意外にも問題集の中でした。
前漢の時代に完成した『九章算術』は、土地の面積を扱う「方田」、土木工事の「商功」といった章で構成されており、最後の第9章の名前がまさに「勾股」です。短い直角辺を「勾」、長い直角辺を「股」、斜辺を「弦」と呼んだため、定理の名前がそのまま三角形の三辺の名前になったわけです。
この本の文法は常に同じです。「今有（いま〜あり）…」で状況を提示し、「術曰（じゅつにいわく）…」で解く手順を記します。なぜその手順が正しいのかという説明は、一行も書かれていません。
先の葦の問題がその勾股章にあります。池は一辺が1丈（10尺）で、葦は中央にあるため、葦の根から水際までは5尺です。術にはこう指示があります。5を2乗した25から、水面上の1を2乗した1を引き、その差を水面上の長さの2倍である2で割れ。答えは水の深さ12尺、葦の長さ13尺。式に移すと $5^2+12^2=13^2$、5・12・13の直角三角形が池の中に隠れていたのです。
私が面白いと感じたのはこの箇所です。
定理の名前は一度も出てきませんが、定理を知らなければ決して導き出せない計算手順が記されています。
勾股弦の定理を証明した人は劉徽だけではなかった
3世紀に勾股弦の定理を図形で証明した中国の数学者は二人います。一般には劉徽だけが取り上げられますが、ほぼ同時代の趙爽も別個の証明を残しています。
趙爽は天文・数学書『周髀算経』に注釈を加えながら、「勾股円方図注」という短い文章と図を添えました。
香港教育局の数学教材が整理した彼の手法はこうです。同じ直角三角形4つ（赤色）を斜辺の正方形の中にぐるりと並べると、中央に一辺が $b-a$ の小さな黄色い正方形が残ります。三角形4つの面積 $2ab$ に中央の $(b-a)^2$ を加えると $a^2+b^2$ となり、これが斜辺の正方形 $c^2$ と等しいという結論です。図形を描いて計算で締めくくる、幾何学と代数学が混ざった証明です。
ちなみに『周髀算経』自体には、これより先に周公と商高の問答の中に3・4・5の直角三角形が登場します。本が現在の形で整理されたのは概ね漢代と推定されています。
劉徽は263年に『九章算術』の注釈を書く際、別の道を選びました。勾を一辺とする正方形を赤い「朱方」、股を一辺とする正方形を青い「青方」と呼び、はみ出した部分を切り取って空いたスペースに移し、斜辺の正方形を埋めます。場所が合う部分は触らず、余る部分だけを移す方式、これが**出入相補（しゅつにゅうそうほ）**です。
ここで一つ指摘したいことがあります。
出入相補を「論理のない目くらまし」と見なすのは禁物です。この方式は「面積は切り取って移しても変わらない」という前提の上に立っています。ギリシャであればその前提を公理として先に書き記したでしょうが、劉徽は記さないまま使いました。分かれ目は論理の有無ではなく、前提を文章として提示するかどうかだったといえます。
ピタゴラスの定理はなぜ公理から出発せねばならなかったのか
ギリシャで疑問視されたのは「この計算が合っているか」よりも「なぜ必ず合わなければならないのか」でした。その問いが、ピタゴラスの定理を公理から一段階ずつ導き出す証明へと駆り立てました。
ピタゴラス学派は「万物の根源は数」と信じていましたが、自分たちの定理がその信念に亀裂を入れました。二つの直角辺が1である直角三角形の斜辺 $\sqrt{2}$ は、いかなる整数の比でも表せなかったのです。いわゆる通約不可能性（incommensurability）、無理数の発見です。数学史では、この衝撃が目に見えるものではなく証明されたものだけを信じる演繹的推論へと、ギリシャ数学を押しやった契機だと説明されることが一般的です。
その手法が行き着いた先がユークリッドの『原論（Elements）』です。ピタゴラスの定理は第1巻の47番目の命題であり、第1巻はその逆である命題48で幕を閉じます。証明は定義と公準から出発し、三角形の合同、平行四辺形と三角形の面積関係を順に積み上げます。読者にパーツを動かしてみろと言うのではなく、前で認めた命題からこの結論を拒絶できないことを示します。証明の末尾に付く「Q.E.D.」は、ギリシャ語原文の結びの言葉を後にラテン語に訳した表現で、「示すべきことがこれであった」という意味です。
勾股弦の定理とピタゴラスの定理、証明方式はこれほど違った
勾股弦の定理とピタゴラスの定理の違いを文献・方式・用途に分けてみると以下の通りです。
| 特徴 | 勾股弦の定理 (古代中国) | ピタゴラスの定理 (古代ギリシャ) |
|---|---|---|
| 主要文献 | 『周髀算経』、『九章算術』勾股章 | ユークリッド『原論』 (第1巻、命題47) |
| 代表的証明 | 趙爽の弦図、劉徽の出入相補 | 公理・公準から出発する演繹論証 |
| 証明の形 | 図形の分割・再配置 + 面積計算 | 先の命題をつなぐ論理の鎖 |
| 主要応用 | 測量、土木、土地面積、天文 | 純粋幾何学、数論、哲学の基礎 |
表の中で誤解しやすい項目が一つあります。中国側の証明が「厳密性に欠ける」と読むのは考えものです。中国の方式は別の目的に合わせて磨かれたものであり、その目的は韓国でこの定理が使われた場所を見ると明確になります。
韓国で勾股弦の定理はどこに使われたのか
記録として確実に確認できる用途は官吏教育、採用試験、そして土地を測る仕事です。韓国民族文化大百科事典の「数学」項目をたどると、その流れはこうです。
- 新羅: 682年に国学を設立する際、算学博士を置いて『九章』などを教えました。 『周髀算経』は天文担当者を育成するのに使われたと見られ、勾股法は当時の天文学者たちの常識であっただろうとこの項目は推定しています。
- 高麗: 算学の科挙である明算業は二日間の試験で、初日は『九章』10条を課しました。高麗算学の中心は依然として『九章算術』だったという意味です。
- 朝鮮前期: 世宗は、量田（土地測量）の計算を李純之や金淡のような人々が成し遂げたと称賛し、算学を広く学ぶよう命じました。この頃、天文官庁の暦算伝統は観象監の気象観測と科学革新へとつながります。
最も具体的な場面は1653年（孝宗4年）の量田です。韓国歴史ネットによると、この時、入り組んだ土地の形を方田・直田・梯田・圭田・勾股田の5つだけに分類して量案（土地台帳）に記録し、勾股田は二つの直角辺を掛けて半分にした値を面積としました。
正直、この点には少し驚きました。
勾股田の面積計算には $a^2+b^2=c^2$ は必要ないからです。二つの直角辺さえ測れば終わりです。定理自体が真価を発揮するのは、一辺を直接測れない時、例えば傾斜や水路のために斜辺しか測れない時です。「量田に勾股弦の定理を使った」という言葉は、「直角三角形に分けて計算した」ことと「三辺の関係から未知の長さを求めた」ことを一まとめにした表現なので、両者を分けて解釈する方が正確です。
朝鮮後期になると、勾股という名前を冠した本まで登場します。
南秉吉は古い算書の測量術に図解を加え、『測量図解』と『勾股術要図解』を出版しました。
実学期に士大夫が数学に関心を示した背景は天人感応説と実学を扱った記事から見て取れます。逆に壬辰・丁酉の二度の戦争の際には、算学の教科書であった『算学啓蒙』や『楊輝算法』が王室の書庫から消えたりもしましたが、戦争が技術継承をどのように断絶させるかは高麗青磁と金属活者の断絶と重ね合わせて見ると興味深いです。
石窟庵は本当に勾股弦の定理で設計されたのか
そう断定できる記録はありません。石窟庵や仏国寺の設計図・計算書が残っていないため、現在語られる比率はすべて後代の研究者が実測から読み取った解釈です。
その解釈が指し示す道具は非常に具体的です。前述の百科事典の項目は、石窟庵の平面図から正方形とその対角線の展開、正三角形と垂線の分割、正八角形と内接円などを読み取り、仏国寺の多宝塔では1:2:4:8に縮小する比率や正方形・対角線の展開を指摘しています。石窟庵に1:√2の比率が流れているという解釈も早くからあり、美術史学者の姜友邦がその研究に魅了されたと回顧したこともあり、2020年の建築歴史研究論文のように実測で元の平面を復元する作業も続けられています。
√2は一辺が1の正方形の対角線、すなわち二つの直角辺が1の直角三角形の斜辺です。その意味で、石窟庵の比率と勾股弦の定理は確かに繋がっています。ただし、正方形に対角線を引くのに定理を知る必要はありません。紐一本あれば十分です。そのため、記録と実測が共に裏付ける言葉は「新羅の職人が正方形・対角線・正三角形を設計道具として使った」までであり、「勾股法で建てた」というのはそれより一歩踏み込んだ解釈といえます。
勾股弦の定理が「証明」ではなく「術」を残した理由
答えは、誰がこの数学を必要としていたかにあります。
韓国の伝統数学は、ほぼ例外なく官庁の数学であり、計算を担う算士は租税・倉庫・会計を扱う下級技術職でした。彼らに必要なのは、税金を課すための土地の面積、積み上げる土の体積、日食の日付を正確に出す手順でした。手順に対する信頼は、毎回合致する計算結果が保証してくれていました。
そのためか、東アジアの算書において図形は常に面積や体積を測る対象に過ぎず、コンパスと定規で図形を描く作図問題は一度も登場しなかったと百科事典の項目は記しています。開化期に西洋式の教科書が入ってきた後も、定理の証明を後回しにして結果に集中する習慣がしばらく残ったそうなので、この違いはかなり長く続いたといえます。
池の話に戻ると、水の深さは12尺、葦は13尺です。『九章算術』はその二つの数字を求め、『原論』はその数字がなぜ変わらないのかを求めました。