勾股定理 vs 毕达哥拉斯定理：证明方式的差异

如果把水面上露出的一尺芦苇拉向岸边，芦苇尖端刚好触及水面，那么池塘有多深？

解决《九章算术》中这一问题的关键就是勾股定理。

它与毕达哥拉斯定理一样，都是 $a^2+b^2=c^2$，不同之处在于证明方式。

勾股定理在《九章算术》中是“解题之法”

勾股定理第一次系统性地亮相，竟是在一本习题集里。

成书于西汉时期的《九章算术》，由探讨土地面积的“方田”、土木工程的“商功”等章节组成，第九章的名字正是“勾股”。短的直角边称为勾，长的直角边称为股，斜边称为弦，定理的名字即源于三角形三边的名称。

书中的逻辑总是如出一辙：先以“今有……”提出状况，再以“术曰……”写出求解步骤。至于该步骤为何正确，书中只字未提。

前面的芦苇问题就在勾股章中。池塘一侧长一丈（10尺），芦苇在正中央，所以从芦苇根部到岸边的距离是5尺。算术给出的指示是：将5平方得到25，减去水面上一尺的平方1，再除以水面高度的两倍2。答案是水深12尺，芦苇长13尺。换成公式就是 $5^2+12^2=13^2$，原来池塘里藏着一个 5·12·13 的直角三角形。

我觉得有趣的地方在于：

虽然书中从未出现过定理的名称，但文中列出的计算顺序，若不懂该定理是绝不可能推导出来的。

证明勾股定理的不止刘徽一人

3世纪时，有两位中国数学家通过图形证明了勾股定理。虽然人们常提到刘徽，但几乎同一时期的赵爽也留下了独立的证明。

赵爽在为天文学和数学著作《周髀算经》作注时，附上了一篇名为“勾股圆方图注”的短文和图示。

根据香港教育局数学教材整理的他的方法如下：将4个相同的直角三角形（红色）放置在斜边正方形内，中间会留下一个边长为 $b-a$ 的黄色小正方形。4个三角形的面积 $2ab$ 加上中间的 $(b-a)^2$ 等于 $a^2+b^2$，这即等于斜边正方形 $c^2$。这是一个绘图计算相结合，融合了几何与代数的证明。

值得一提的是，《周髀算经》本身在更早的周公与商高的问答中就提到了 3·4·5 直角三角形。该书被认为大体成书于汉代。

刘徽在263年为《九章算术》作注时选择了另一条路。他将以勾为边长的正方形称为“朱方”，以股为边长的正方形称为“青方”，然后将突出的部分切割并移至空缺处，从而填补斜边正方形。这种不触动重合部分、仅移动剩余部分的方法，就是出入相补。

将刘徽的“出入相补”原理可视化的证明。通过切割和重排图形，直观地展示了面积相等。

这里我想指出一点：

若将“出入相补”视为“没有逻辑的障眼法”是不妥的。这种方法建立在“面积通过切割移动后保持不变”的前提之上。如果是希腊人，可能会先把这个前提列为公理，而刘徽没有将其明确写出来。分歧点不在于是否有逻辑，而在于是否将前提以文字形式表述出来。

毕达哥拉斯定理为何必须从公理出发

希腊人关心的不是“这个计算对吗”，而是“为什么它必然正确”。这个问题促使毕达哥拉斯定理走向了从公理出发、一步步推导的证明之路。

毕达哥拉斯学派相信“万物皆数”，但他们的定理却让这一信念产生了裂痕。直角边为1的直角三角形，其斜边 $\sqrt{2}$ 无法用任何整数之比来表示。这就是所谓的不可公度性，即无理数的发现。数学史通常认为，这一冲击是推动希腊数学转向演绎推理（只相信经过证明的结论，而非肉眼所见）的契机。

这一方法最终在欧几里得的《几何原本（Elements）》中达到巅峰。毕达哥拉斯定理是第一卷的第47个命题，而第一卷以其逆命题第48个命题作结。证明从定义和公设出发，依次堆叠三角形全等、平行四边形与三角形面积关系等。它不要求读者去拼凑图形，而是从预先承认的命题中展示出该结论不可违抗的必然性。证明结尾的“Q.E.D.”是希腊文原稿结语的拉丁语译文，意为“所求证者即在此”。

欧几里得《几何原本》第一卷命题47，毕达哥拉斯定理的证明。经过了复杂的逻辑步骤。

勾股定理与毕达哥拉斯定理，证明方式各异

勾股定理与毕达哥拉斯定理在文献、方式、应用上的差异如下表：

特征	勾股定理（古代中国）	毕达哥拉斯定理（古代希腊）
主要文献	《周髀算经》、《九章算术》勾股章	欧几里得《几何原本》（第一卷，命题47）
代表证明	赵爽弦图、刘徽出入相补	从公理、公设出发的演绎论证
证明形态	图形分割、重排 + 面积计算	连接前序命题的逻辑链条
主要应用	测量、土木、土地面积、天文	纯几何学、数论、哲学基础

表中有一栏容易产生误解：如果认为中国式的证明“不够严密”就错了。中国的方式是为了适应其他目的而优化的，其目的在韩国该定理的应用场景中表现得尤为清晰。

勾股定理在韩国的应用

有明确史料记载的用途包括官员教育、选拔考试以及土地测量。根据《韩国民族文化大百科全书》“数学”条目的梳理，其脉络如下：

新罗： 682年设立国学，设有算学博士，教授《九章》等书籍。《周髀算经》被认为用于培养天文官员，条目推测勾股法是当时天文学家的常识。
高丽： 算学过去科考试“明算业”为期两天，首日考《九章》10条。这意味着《九章算术》仍是高丽算学的核心。
朝鲜****前期： 世宗大王曾命李纯之、金淡等人进行量田（土地测量）计算，并下令广泛学习算学。这一时期的天文官署历算传统延续到了观象台的气象观测与科学创新。

最具体的场景是1653年（孝宗4年）的量田。据我们历史网记载，当时将参差不齐的土地形状分为方田、直田、梯田、圭田、勾股田五种并登记在案，其中勾股田以两直角边乘积的一半作为面积。

坦白说，这一点让我有些惊讶。

勾股田的面积计算并不需要 $a^2+b^2=c^2$。只需测量两直角边即可。只有在无法直接测量某一边（例如因为斜坡或水路只能测量斜边）时，定理本身才真正发挥作用。“量田使用了勾股定理”这句话，其实是将“通过划分直角三角形计算”与“通过三边关系求未知长度”混在一起的表述，分开理解会更准确。

进入朝鲜后期，甚至出现了以“勾股”命名的书籍。

南秉哲将古代算书的测量技术加上图解，出版了《测量图解》和《勾股述要图解》。

实学派士大夫关注数学的背景，可以参考关于天人感应说与实学的文章。反之，在壬辰倭乱和丁酉再乱期间，算学教材《算学启蒙》和《杨辉算法》甚至从王室书库中消失，将战争如何切断技术传承与高丽青瓷和金属活字的断层对比来看，非常有意思。

石窟庵真的是用勾股定理设计的吗

没有确凿的记录可以断定。由于石窟庵或佛国寺的设计图和计算书并未留存，现在所说的比例全是后代研究者通过实测得出的解读。

这些解读所指向的工具非常具体。上述百科全书条目指出，石窟庵平面中存在正方形及其对角线的展开、正三角形与垂线的分割、正八角形与内切圆等；在佛国寺多宝塔中，则指出了 1:2:4:8 的递减比例以及正方形与对角线的展开。关于石窟庵中存在 1:√2 比例的解读很早就有出现，美术史学家姜友邦曾回顾自己被该研究深深吸引，像2020年的建筑历史研究论文那样通过实测重新复原原平面的工作也一直在进行。

√2 是边长为1的正方形的对角线，即两直角边为1的直角三角形的斜边。从这个意义上讲，石窟庵的比例与勾股定理确实有联系。但要在正方形中画对角线，并不需要知道定理，一根绳子就足够了。因此，有史料和实测共同支撑的结论是“新罗工匠将正方形、对角线、正三角形作为设计工具”，而“用勾股法建造”则是一种更进一步的解读。