수면 위로 한 자 나온 갈대를 당겼더니 끝이 딱 물가에 닿았다면, 연못은 얼마나 깊을까요?
『구장산술』의 이 문제를 푸는 열쇠가 구고현의 정리입니다.
피타고라스 정리와 같은 $a^2+b^2=c^2$이고, 다른 건 증명 방식이었죠.
구고현의 정리는 『구장산술』에서 ‘문제 푸는 법’이었다
구고현의 정리가 체계적으로 처음 모습을 드러낸 곳은 뜻밖에도 문제집이었습니다.
전한(前漢) 때 완성된 『구장산술(九章算術)』은 토지 넓이를 다루는 ‘방전’, 토목 공사의 ‘상공’ 같은 장으로 짜여 있고, 마지막 아홉 번째 장 이름이 바로 ‘구고(句股)‘입니다. 짧은 직각변을 구, 긴 직각변을 고, 빗변을 현이라 불렀으니 정리 이름이 곧 삼각형의 세 변 이름인 셈이죠.
책의 문법은 늘 같습니다. “금유(今有)…“로 상황을 던지고, “술왈(術曰)…“로 푸는 절차를 적습니다. 그 절차가 왜 맞는지는 한 줄도 적혀 있지 않죠.
앞의 갈대 문제가 그 구고장에 있습니다. 연못은 한 변이 한 장(10자)이고 갈대는 한가운데에 있으니, 갈대 뿌리에서 물가까지는 5자입니다. 술은 이렇게 지시합니다. 5를 제곱한 25에서 수면 위 1자를 제곱한 1을 빼고, 그 차를 수면 위 길이의 두 배인 2로 나눠라. 답은 물 깊이 12자, 갈대 길이 13자. 식으로 옮기면 $5^2+12^2=13^2$, 5·12·13 직각삼각형이 연못 속에 숨어 있었던 거예요.
제가 재미있다고 느낀 건 이 대목입니다.
정리의 이름은 한 번도 나오지 않는데, 정리를 모르면 절대 나올 수 없는 계산 순서가 적혀 있습니다.
구고현의 정리를 증명한 사람은 유휘만이 아니었다
3세기에 구고현의 정리를 그림으로 증명한 중국 수학자는 둘입니다. 흔히 유휘(劉徽)만 거론되지만, 거의 같은 시기의 조상(趙爽)도 별도의 증명을 남겼어요.
조상은 천문·수학서 『주비산경(周髀算經)』에 주석을 달면서 ‘구고원방도주’라는 짧은 글과 그림을 붙였습니다.
홍콩 교육국 수학 교재가 정리한 그의 방법은 이렇습니다. 똑같은 직각삼각형 4개(붉은색)를 빗변 정사각형 안에 빙 둘러 놓으면 가운데에 한 변이 $b-a$인 작은 노란 정사각형이 남습니다. 삼각형 넷의 넓이 $2ab$에 가운데 $(b-a)^2$을 더하면 $a^2+b^2$, 그리고 이게 빗변 정사각형 $c^2$과 같다는 결론입니다. 도형을 그려 놓고 계산으로 마무리하는, 기하와 대수가 섞인 증명이죠.
참고로 『주비산경』 자체에는 이보다 앞서 주공과 상고의 문답 속에 3·4·5 직각삼각형이 나옵니다. 책이 지금 형태로 정리된 건 대체로 한나라 때로 추정됩니다.
유휘는 263년에 『구장산술』 주석을 쓰면서 다른 길을 택했습니다. 구를 한 변으로 한 정사각형을 붉은 ‘주방(朱方)’, 고를 한 변으로 한 정사각형을 푸른 ‘청방(靑方)‘이라 부르고, 튀어나온 조각을 잘라 빈자리로 옮겨 빗변 정사각형을 채웁니다. 자리가 맞는 부분은 건드리지 않고 남는 부분만 옮기는 방식, 이것이 **출입상보(出入相補)**입니다.
여기서 하나 짚고 싶은 게 있습니다.
출입상보를 “논리가 없는 눈속임"으로 보면 곤란합니다. 이 방식은 ‘넓이는 자르고 옮겨도 변하지 않는다’는 전제 위에 서 있습니다. 그리스라면 그 전제를 공리로 먼저 적어 두었을 테고, 유휘는 적지 않은 채 썼습니다. 갈린 지점은 논리가 있느냐 없느냐보다, 전제를 문장으로 꺼내 놓느냐였던 셈입니다.
피타고라스 정리는 왜 공리에서 출발해야 했나
그리스에서 궁금했던 건 “이 계산이 맞느냐"보다 “왜 반드시 맞을 수밖에 없느냐”였습니다. 그 질문이 피타고라스 정리를 공리에서 한 단계씩 끌어내는 증명으로 몰고 갔습니다.
피타고라스 학파는 “만물의 근원은 수"라고 믿었는데, 정작 자기들 정리가 그 믿음에 금을 냈습니다. 두 직각변이 1인 직각삼각형의 빗변 $\sqrt{2}$는 어떤 정수의 비로도 나타낼 수 없었거든요. 이른바 통약 불가능성(incommensurability), 무리수의 발견입니다. 수학사에서는 이 충격이 눈에 보이는 것 대신 증명된 것만 믿는 연역적 추론 쪽으로 그리스 수학을 밀어낸 계기였다고 흔히 설명합니다.
그 방법이 다다른 곳이 유클리드의 『원론(Elements)』입니다. 피타고라스 정리는 제1권 47번째 명제이고, 1권은 그 역인 명제 48로 막을 내립니다. 증명은 정의와 공준에서 출발해 삼각형의 합동, 평행사변형과 삼각형의 넓이 관계를 차례로 쌓아 올립니다. 독자에게 조각을 옮겨 보라고 하지 않고, 앞에서 인정한 명제들로부터 이 결론을 거부할 수 없다는 걸 보여 줍니다. 증명 끝에 붙는 “Q.E.D.“는 그리스어 원문의 맺음말을 나중에 라틴어로 옮긴 표현으로, ‘보여야 할 것이 이것이었다’는 뜻입니다.
구고현의 정리와 피타고라스 정리, 증명 방식은 이렇게 달랐다
구고현의 정리와 피타고라스 정리의 차이를 문헌·방식·쓰임으로 나눠 보면 다음과 같습니다.
| 특징 | 구고현의 정리 (고대 중국) | 피타고라스 정리 (고대 그리스) |
|---|---|---|
| 주요 문헌 | 『주비산경』, 『구장산술』 구고장 | 유클리드 『원론』 (제1권, 명제 47) |
| 대표 증명 | 조상의 현도, 유휘의 출입상보 | 공리·공준에서 출발하는 연역 논증 |
| 증명의 모양 | 도형 분할·재배치 + 넓이 계산 | 앞선 명제를 잇는 논리의 사슬 |
| 주요 응용 | 측량, 토목, 토지 넓이, 천문 | 순수 기하학, 정수론, 철학의 기초 |
표에서 오해하기 쉬운 칸이 하나 있습니다. 중국 쪽 증명이 ‘덜 엄밀하다’고 읽으면 곤란하죠. 중국 방식은 다른 목적에 맞춰 다듬어진 것이고, 그 목적은 한국에서 이 정리가 쓰인 자리를 보면 또렷해집니다.
한국에서 구고현의 정리는 어디에 쓰였나
기록으로 확실히 확인되는 쓰임은 관리 교육, 채용 시험, 그리고 땅을 재는 일입니다. 한국민족문화대백과사전 ‘수학’ 항목을 따라가 보면 흐름이 이렇습니다.
- 신라: 682년 국학을 세우면서 산학박사를 두고 『구장』 등을 가르쳤습니다. 『주비산경』은 천문 담당자를 기르는 데 쓰였을 것으로 보여, 구고법은 당시 천문학자들의 상식이었으리라고 이 항목은 추정합니다.
- 고려: 산학 과거인 명산업은 이틀 시험이었고, 첫날 『구장』 10조를 치렀습니다. 고려 산학의 중심은 여전히 『구장산술』이었다는 뜻입니다.
- 조선** 전기:** 세종은 양전(토지 측량) 계산을 이순지·김담 같은 사람들이 해냈다며 산학을 널리 익히라고 명했습니다. 이 무렵 천문 관서의 역산 전통은 관상감의 기상 관측과 과학 혁신으로 이어집니다.
가장 구체적인 장면은 1653년(효종 4) 양전입니다. 우리역사넷에 따르면 이때 들쭉날쭉한 땅 모양을 방전·직전·제전·규전·구고전 다섯 가지로만 나눠 양안에 올렸고, 구고전은 두 직각변을 곱해 반으로 나눈 값을 넓이로 삼았습니다.
솔직히 이 대목에서 조금 놀랐습니다.
구고전의 넓이 계산에는 $a^2+b^2=c^2$가 필요 없거든요. 두 직각변만 재면 끝입니다. 정리 자체가 제 몫을 하는 건 한 변을 직접 잴 수 없을 때, 이를테면 비탈이나 물길 때문에 빗변만 잴 수 있을 때입니다. “양전에 구고현의 정리를 썼다"는 말은 ‘직각삼각형으로 나눠 계산했다’와 ‘세 변의 관계로 모르는 길이를 구했다’를 한데 뭉친 표현이라, 둘을 나눠 읽는 편이 정확합니다.
조선 후기로 가면 구고라는 이름을 단 책까지 나옵니다.
남병길은 옛 산서의 측량술에 그림 해설을 붙여 『측량도해』와 『구고술요도해』를 펴냈습니다.
실학기 사대부들이 수학에 관심을 보인 배경은 천인감응설과 실학을 다룬 글에서 이어 볼 수 있습니다. 반대로 임진·정유 두 전쟁 때는 산학 교과서였던 『산학계몽』과 『양휘산법』이 왕실 서고에서 사라지기도 했는데, 전쟁이 기술 전승을 어떻게 끊는지는 고려청자와 금속활자의 단절과 겹쳐 보면 흥미롭습니다.
석굴암은 정말 구고현의 정리로 설계됐을까
그렇게 단정할 기록은 없습니다. 석굴암이나 불국사의 설계도·계산서가 남아 있지 않아서, 지금 말하는 비례는 모두 후대 연구자가 실측으로 읽어 낸 해석입니다.
그 해석이 가리키는 도구는 꽤 구체적입니다. 앞의 백과사전 항목은 석굴암 평면에서 정사각형과 그 대각선의 전개, 정삼각형과 수선의 분할, 정팔각형과 내접원 등을 읽어 내고, 불국사 다보탑에서는 1:2:4:8로 줄어드는 비례와 정사각형·대각선의 전개를 짚습니다. 석굴암에 1:√2 비례가 흐른다는 해석도 일찍부터 나와 미술사학자 강우방이 그 연구에 매료됐다고 회고한 적이 있고, 2020년 건축역사연구 논문처럼 실측으로 원래 평면을 다시 복원해 보는 작업도 계속되고 있습니다.
√2는 한 변이 1인 정사각형의 대각선, 곧 두 직각변이 1인 직각삼각형의 빗변입니다. 그런 의미에서 석굴암의 비례와 구고현의 정리는 분명 이어집니다. 다만 정사각형에 대각선을 긋는 데 정리를 알 필요는 없습니다. 끈 하나면 충분하죠. 그래서 기록과 실측이 함께 받쳐 주는 말은 “신라 장인이 정사각형·대각선·정삼각형을 설계 도구로 썼다"까지이고, “구고법으로 지었다"는 그보다 한 걸음 더 나간 해석입니다.
구고현의 정리가 ‘증명’ 대신 ‘술’을 남긴 이유
답은 누가 이 수학을 필요로 했느냐에 있습니다.
한국 전통 수학은 거의 예외 없이 관청의 수학이었고, 계산을 맡은 산사는 조세·창고·회계를 다루는 하급 기술직이었습니다. 그들에게 필요한 건 세금을 매길 땅의 넓이, 쌓을 흙의 부피, 일식 날짜를 틀리지 않고 내놓는 절차였습니다. 절차에 대한 믿음은 매번 맞아떨어지는 계산이 대신 보증해 줬고요.
그래서인지 동아시아** 산서에서 도형은 언제나 넓이와 부피를 재는 대상이었을 뿐, 자와 컴퍼스로 도형을 그리는 작도 문제는 한 번도 등장하지 않았다**고 백과사전 항목은 적고 있습니다. 개화기에 서양식 교과서가 들어온 뒤에도 정리의 증명은 제쳐 두고 결과에 치중하는 습관이 한동안 남았다고 하니, 이 차이는 꽤 오래 버틴 셈입니다.
연못 이야기로 돌아가면, 물 깊이는 12자, 갈대는 13자입니다. 『구장산술』은 그 두 숫자를 요구했고, 『원론』은 그 숫자가 왜 달라질 수 없는지를 요구했습니다.